Español: Triángulo Matematico de Joel: es un triángulo infinito que define los coeficiente del binomio j(a+b) elevado a potencia 2n, el cual está compuesto por números enteros, la diagonal cero (0D) está definida por la formula general 0D = jn+1 /jn, donde j є N, j є Z+, pero j = 1, n є N, n є Z+, n ≥ 0, los términos coeficiente de la diagonal uno (1D) está definida por la formula 1D = jn, donde j є N, j є Z+ , j = 2, n є N, n є Z+, n ≥ 1, el conjunto de coeficientes colocados en posiciones intermedias a partir de la segunda diagonal es el resultado de la formula CS =dd +di + 2Cv , donde la suma de los coeficientes colocado en posición diagonal derecha (dd) y posición diagonal izquierda (di), más el duplo del coeficiente colocado posición vertical (2Cv), estos tres coeficiente están ubicados por encima de la posición del coeficiente seleccionado (CS).

Cuando el coeficiente de la posición vertical, el coeficiente de posición diagonal izquierda o el coeficiente de posición de la diagonal derecha no poseen cantidades que lo representen en el triángulo de Joel, es porque los coeficientes de la posición son iguales a cero. Para formar el triángulo de Joel, en la fila cero (0F) solamente existe una posición de coeficiente que está representada por el número 1. Esto se debe al desarrollo del binomio j(a+b)2n siendo la variable n = 0. En fila uno (1F) solamente existe tres posiciones de coeficiente que está representada por los números 1, 2, 1. Esto se debe al desarrollo del binomio j(a+b) 2n siendo la variable n = 1. En la fila uno del triángulo de Joel, la tres posiciones de coeficiente la determinaremos por la formula CS = dd +di + 2Cv. Primera posición de coeficiente fila uno (1F), sustituyendo en la formula la variable por sus valores: CS =dd +di + 2Cv, sustituyendo CS =1 + 0 +2(0) = 1, CS =1. Segunda posición de coeficiente fila uno (1F), sustituyendo en la formula la variable por sus valores: CS =dd +di + 2Cv, sustituyendo CS =0 + 0 +2(1) = 2, CS =2. Tercera posición de coeficiente fila uno (1F), sustituyendo en la formula la variable por sus valores: CS =dd +di + 2Cv, sustituyendo CS =0 + 1 +2(0) = 1, CS =1. Los tres coeficiente de las fila uno (1F) son: 1, 2, 1, observe el triángulo de Joel. En las demás filas se ejecutara el mismo procedimiento hasta extendernos infinitamente. Características Especiales del Triángulo de Joel 1- La Diagonal cero (0D) del Triangulo de Joel La diagonal cero (0D) está representada por la sucesión uniforme: 0D = jn+1/jn, donde la variable j = 1 y la variable n ≥ 0, n є N. 0D = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1…1)

2- La Diagonal uno (1D) del Triangulo Matemático de Joel Representa el Conjunto de los números pares. La diagonal uno (1D) está representada por la sucesión: 1D = jn, donde la variable j = 2 y la variable n ≥ 1,n є N. 1D = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16…jn). La diagonal uno representa el conjunto de los números pares. La diagonal uno está representada por una sucesión recurrente aritmética, D1 = 2, Dn = Dn-1 + 2 (cada elemento es igual al anterior más 2)

3- La Diagonal dos (2D) del Triangulo de Joel El primer término coeficiente de la diagonal dos (2D) es el producto del primer elemento de los números naturales por el primer elemento de los números impares, 1(1) = 1 El segundo término coeficiente de la diagonal dos (2D) es el producto del segundo elemento de los números naturales por el segundo elemento de los números impares, 2(3) = 6 Los términos coeficientes de la diagonal dos (2D) son: (1, 6, 15, 28, 45, 66…Nn (In)). Entonces siendo el conjunto de los números naturales N = (1, 2, 3, 4, 5…∞), n ≥ 1 y el conjunto de los números impares generado por (2n+1)), n ≥ 0, representados I = (1, 3, 5. 7…∞), luego la diagonal dos, 2D = Nn (In) = (1, 6, 15, 28, 45, 66…Nn (In)). 4- Sucesión Recurrente 4n, n ≥ 0, nє N La suma de los coeficiente que existe en cada fila es determinada con la formula nFs = 4n.Donde la variable n es igual al número de fila, la cual representa una sucesión recurrente tipo geométrico. ¿Cuál es la suma de coeficiente que existe en la fila cinco? 5Fs = 4n = 45= 1024 5- Sucesión de los números impares. La cantidad de términos coeficiente que existe en cada fila está determinada por la formula nFt = (2n + 1) = (1, 3, 5, 7, 9…∞), donde n ≥ 0, n є N, se definen todos los elementos del conjunto de los números impares. ¿Cuántos términos coeficiente existen en la fila tres? 3Ft = 2n + 1= 2(3) + 1= 6 + 1= 7, esto indica que en la fila tres existen 7 términos.

6- El triangulo de Joel y los coeficientes del binomio j(a+b)2n, j = n, n ≥ 0, n є N.

Potencia n Desarrollo Binomio j(a+b)2n, j = n, n ≥ 0, nє NTriangulo De Joel n = 0 (a+b)2(0)=(a+b)0= 1 1 n = 1 (a+b)2(1)=(a+b)2= a2+ 2ab +b2 1 2 1

n = 2 (a+b)2(2)=(a+b)4= a4+ 4a3 b+ 6a2b2 + 4ab3 +b2 1 4 6 4 1